Видимо по историческим причинам Stochastic Volatility модели используют в названии и терминологии слово «волатильность».

SV модели выглядят как r = μ + σϵ; σ = f(...) в этой модели, ключевым, целью, является r, волатильность же σ некая абстракция внутренней структуры модели. 

Фиттинг Implied Volatility, имеет весьма опосредственное отношение к волатильности. Что реально происходит — это фиттинг распределения вероятностей лог прибыли r через функцию моментов. Наблюдаемые цены евро опционов, это моменты распределения вероятностей r. С американскими примерно то же но сложнее.

Использование волатильности как некоего числа, например из GARCH и т.п. где используется упрощении, и по аналогии похожая формулу вида r = μ + σϵ, не передает реальной сути процесса, потому что волатильность в Stochastic Volatility не число, а распределение вероятностей, облако. И попытка сжать облако в цифру, теряет информацию и точность.

Также, сам фиттинг волатильности как числа, по неким замерам — неадекватен, теряется единая связанная структура модели, получается фиттинг отдельных ее кусков, который может уступать фиттингу полноценной единой модели r.

( Читать дальше )

Походу это лучшее представление «будущего». Оно интуитивно понятно, хорошо изображается как 2D граф (если толщину линий сделать пропорциональна вероятностям перехода), явно показывает вероятности, явно показывает пути, не требует нормальности.

Implied Volatility Surface изображает вероятности, но не показывает пути. Brownian Motion изображает пути но не показывает вероятности, и ее «форму» нельзя «увидеть» без симуляции. 

Implied Volatility Tree например как recombinant ternary tree (мне кажется 3ное дерево внешне выглядит лучше и понятней чем 2йное). 



Ну и оно относительно интуитивно и визуально показывает что такое Американский Опцион, как взвешенный обход этого графа. И по нему сходу считаются как Евро так и Американские опционы.

И достаточно быстро строится, его можно строить итеративно, последовательно для каждого периода. И оно уже готово для вычислений опционов. 

Из минусов дискретность по времени и цене, но это не проблема.

И, сам подход и концепция достаточно простой, похожий на цепи Маркова со скрытыми слоями.

На удивление неплохое, таблица премиумов Интела, строчки страйки, столбцы експирации. Столбец с цифрой '60/91/182/365' рыночные цены премиумов, столбцы 'е' премиумы предсказанные моделью через реальные вероятности ожидаемой цены Интела. В процентах реальные вероятности попадания опциона в деньги.


График ниже CDF/SurvivalFn реальные вероятности для log returns интела через год.

Выделено красными овалами хорошее совпадение на периоде 365д и хуже на 60д (видимо модель недотягивает хвосты на коротких интервалах, судя по всему на коротких интервалах хвосты тяжелее чем парето, нужно будет поправить модель).

Наблюдения:

Ожидания рынка мало отличаются от простой проекции исторических вероятностей в будущее. Иногда видно отклонения от исторической модели, как например цены уранодобытчиков отличаются, рынок ожидает их рост больше чем «в среднем», иногда наоборот ожидания меньше. Но в целом такое впечатление что рынок слабо представляет что будет с ценой. Что в принципе совпадает с тем как формируются цены опционов, через обеспечение ликвидности чем через реальные ожидания.

( Читать дальше )